Jumlah Deret Aritmatika

Salah satu hal yang paling saya sesali dalam perjalanan saya menimba ilmu dari SD hingga bangku kuliah adalah saya lebih sering menghafal daripada memahami. Dan akibatnya selain saya tidak menikmati pencarian ilmu itu sendiri, ketika saya membutuhkan formula untuk menyelesaikan suatu permasalahan dan saya sudah melupakan formula tersebut, saya tidak punya clue sedikitpun untuk merekontruksi kembali, karena memang sejak awal saya tidak pernah memahaminya. Andai waktu bisa berulang kembali.

Jika kita pernah membaca sejarah tokoh-tokoh penemu terdahulu, begitulah cara mereka bekerja. Mereka tidak menerima segala sesuatunya secara instan. Mereka benar-benar berusaha memahaminya terlebih dahulu. Logika mereka bekerja.

Jika kita disuruh menjumlahkan bilangan 1 hingga 100, maka jika anda termasuk orang yang tidak mau ambil pusing maka anda akan mengambil kalkulator. Jika anda orang yang memiliki hafalan yang kuat dan nilai matematika yang bagus, maka ada akan menggunakan rumus [(n+1)(n)]/2. Namun jika anda orang yang paham, maka anda cukup memejamkan mata sebentar.

Untuk orang tukang hafal, ketika soal berubah ‘jumlahkan deret bilangan 78, 81, 84, 87, … ,141′ maka saya yakin mereka akan sedikit kebingungan. Tapi bagi orang yang paham, masih cukup dengan memejamkan mata (atau paling jauh adalah dengan membuat sedikit coretan).

Kenapa bisa begitu? Karena meraka paham bagaimana asal rumus jumlah deret.

Flashback sejenak pada masa kecil Pak Gauss (Carl Friedrich Gauss). Pada saat duduk dibangku sekolah dasar, Gauss kecil dan teman-teman sekelasnya diberi tugas oleh gurunya untuk menjumlahkan bilangan bulat dari 1 hingga 100. Saat Pak Guru berkata ‘mulai!’, semua siswa tampak sibuk untuk menjumlahkan bilangan. Pak Guru pun mengawasi anak didiknya satu persatu. Hingga matanya mengarah pada Gauss kecil. Dan Pak Guru melihat Gauss kecil tidak melakukan apapun.

Ketika ditanya Gauss kecil menjawab, “Sudah selasai,Pak.”

“Berapa jawabannya, Gauss?”, Pak Guru bertanya heran.

Gauss kecil menjawab, “5050″

Pak Guru yang sangat tidak percaya karena tidak mungkin menyelesaikan perhitungan sedemikian banyaknya hanya dalam waktu beberapa detik kecuali berbuat kecurangan mendatangi meja Gauss kecil.  Dan kemudian melihat coretan kecil dibukunya :

Ternyata Gauus kecil menjumlahkan dua deret sekaligus namun dibalik penyusunannya. Dan hasil penjumlahan tiap-tiap sukunya adalah sama yaitu 101. Dan jika ada seratus suku, bukankah hanya tinggal mengalikan dengan 100. Dan hasilnya tinggal dibagi dua untuk mendapatkan jumlahan untuk satu deret.

Jika kita memahami asal usulnya, segala sesuatu tampaknya lebih mudah untuk diingat. Untuk apapun itu.

Sehingga menjawab pertanyaan tadi, “Jumlahkan deret bilangan 78, 81, 84, 87, … ,141″, cukup dengan membuat coretan (jika kemampuan penguasaan menerawang angka cukup lemah) :

78 + 141 = 219 (tiap suku)

[ ( 141 - 78 ) / 3 ] + 1 = 22 (jumlah suku)   *karena beda = 3

Sehingga jumlah deret adalah ( 219 x 22 ) / 2 = 2409

Kalau tidak percaya bisa dihitung secara manual

Deret Fibonacci

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 dst

Itulah deret Fibonacci. Deret Fibonacci adalah deret yang diawali dengan 1 dan 1, yang kemudian untuk angka berikutnya adalah merupakan penjumlahan dua angka sebelumnya.

Berdasarkan buku The Art of Computer Programming karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India, Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong.

Di dunia barat, barisan ini pertama kali dipelajari oleh Leonardo da Pisa, yang juga dikenal sebagai Fibonacci (sekitar 1200), ketika membahas pertumbuhan ideal dari populasi kelinci.

Dan bukan hanya populasi kelinci saja, diartikel ini anda dapat melihat bahwa banyak sekali kejadian dialam ini yang berhubungan dengan deret Fibonacci ini. Saya yakin anda akan dibuat terkagum-kagum.

Spiral pun terbentuk berdasarkan deret Fibonacci ini.

Dan bagaimanakah hubungannya deret Fibonacci ini dengan golden number (phi)?

Jika deret Fibonacci ini kita lanjutkan, cukup hingga deret ke-15, dan lihatlah perbandingan antara angka satu dengan angka sebelumnya, maka anda akan menemukan phi disana. Semakin besar deret, semakin mendekati phi pula nilai perbandingannya.

Phi, bilangan paling keren (menurut saya)

Phi, bukan pi untuk konstanta lingkaran, yang dilambangkan dengan φ (phi huruf kecil) adalah 1.6180339887… Kemudian dimana letak istimewanya?

Mari kita bermain angka sejenak

Kita lakukan pembagian 1/φ yaitu 1 / 1.6180339887. Dan hasilnya adalah 0.6180339887. Kita kurangkan φ – 1 yaitu 1.6180339887 – 1. Dan hasilnya juga adalah 0.6180339887. Dari kedua perhitungan tersebut menurut saya sudah tampak istimewanya, karena

dan kemudian nilai 0.6180339887 dikenal dengan nama phi conjugate atau golden ratio conjugate yang dilambangkan dengan Φ (phi huruf besar)

Sekarang kita coba bermain seni

Pernah menggambar bintang, atau paling tidak tahu gambar bintang (dalam bahasa ilmiahnya adalah pentagram). Gambarnya kurang lebih adalah seperti ini

Karena jika perhitungan matematikanya saya jabarkan akan sangat panjang maka saya akan berikan kesimpulannya saja. Jika hijau dianggap = 1, maka merah = φ. Dan jika biru dianggap = 1 maka hijau = φ. Dan jika pink dianggap = 1 maka biru = φ. Anda bisa mengotak-atik sendiri jika tidak percaya.

Bilangan φ (phi) memang dikenal dengan sebutan GOLDEN NUMBER atau juga golden ratio, karena banyak perbandingan di alam semesta ini menghasilkan perbandingan dengan nilai φ. (Sepertinya nama golden atau emas ini juga diambil karena angka ini adalah angka yang sangat istimewa).

untuk pentagon diatas juga perbandingan a dan b adalah 1 : φ

Kita coba hal lain, kali ini seni anatomi. Hal ini mungkin diprakarsai oleh seniman terkenal Leonardo da Vinci, yang jika anda telah membaca buku The DaVInci Code mungkin paham, terlepas benar atau tidaknya.

Perbandingan antara pangkal lengan dengan hingga siku dengan pangkal lengan hingga bahu adalah 1 : φ. Perbandingan antara ujung kaki hingga pangkal kaki dengan ujung kaki hingga bahu adalah 1 : φ. Perbandingan antara ujung jari hingga buku jari kedua dan ujung jari hingga panggal jari adalah 1 : φ. Begitu seterusnya

Dalam seni lukis, masih Leonardo da Vinci, mengenalkan perbandingan ukuran geometri untuk bentuk wajah juga cocok dengan golden ratio ini.

Dan dialam semesta ini banyak sekali perbandingan yang sesuai dengan golden ratio ini. Mulai dari daun, cabang, populasi hewan, dsb yang tidak mungkin dijabarkan satu persatu.

Darimanakah angka ini berasal?

Dari beberapa contoh diatas (misal contoh untuk pentagram), maka golden ratio dapat dirumuskan :

dengan rumus substitusi (untuk persamaan yang kanan) a = bφ, maka didapatkan

dengan menghilangkan b, maka

sehingga didapatkan

dengan rumus a,b,c untuk nilai positif didapatkan

Namun untuk asal asul sepertinya lebih masuk akal jika nilai φ didapatkan dari deret Fibonacci. Karena deret Fibonacci, yang merupakan deret bilangan bulat, lebih ‘kasat mata’ dibanding dengan nilai angka yang memiliki banyak angka dibelakang koma ini. Sehingga lebih masuk akal jika ditemukan terlebih dahulu deret Fibonacci, kemudian dengan deret Fibonacci ini ditemukanlah angka yang dikenal dengan φ. Bersama dengan φ, deret Fibonacci menurut saya adalah angka dan deret yang ‘menguasai’ alam semesta. Angka dan deret yang keren…

“	Some of the greatest mathematical minds of all ages, from Pythagoras and Euclid in ancient Greece, through the medieval Italian mathematician Leonardo of Pisa and the Renaissance astronomer Johannes Kepler, to present-day scientific figures such as Oxford physicist Roger Penrose, have spent endless hours over this simple ratio and its properties. But the fascination with the Golden Ratio is not confined just to mathematicians. Biologists, artists, musicians, historians, architects, psychologists, and even mystics have pondered and debated the basis of its ubiquity and appeal. In fact, it is probably fair to say that the Golden Ratio has inspired thinkers of all disciplines like no other number in the history of mathematics.	”
	— Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World’s Most Astonishing Number

disadur dari wikipedia.org